多元函数的偏导数
定义：设多元函数 $u=f(\textbf{x})=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在 $\textbf{x}_0=(x_0^{(1)},x_0^{(2)},\cdots,x_0^{(n)})\in \mathbb{R}^n$ 的某个邻域中有定义，若极限
$$\lim_{\Delta x_i\rightarrow0} \frac{\Delta_{x_i}u}{\Delta x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0} \frac{f(x_0^{(1)},\cdots,x_0^{(i-1)},x_0^{(i)}+\Delta x,x_0^{(i+1)},\cdots,x_0^{(n)})-f( \textbf{x}_0)}{\Delta x_i}$$
存在，则称之为$f(\textbf{x})$在 $\textbf{x}_0$ 关于 $x_i$ 的 偏导数，记作 $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\textbf{x}_0)$，$\frac{\partial u}{\partial x_i}(\textbf{x}_0)$，$u’_{x_i}(\textbf{x}_0)$ 或 $f’_{x_i}(\textbf{x}_0)$ .
实际上 ，多元函数 $f(\textbf{x})$在 $\textbf{x}_0$ 关于 $x_i$ 的偏导数就是把其他所有变量在这一点固定住，令 $g(x)=f(x_0^{(1)},\cdots,x_0^{(i-1)},x,x_0^{(i+1)},\cdots,x_0^{(n)})$，然后求 $g’(x_0^{(i)})$ 的过程.
例1. 对于二元函数 $f(x,y)=x^2+y^2+xy-x$，求 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial x}$.
解：对于 $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)$，我们可以把 $y$ 视为常数 $1$，即 $g(x)=f(x,1)=x^2+1$，$\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=g’(1)=2$.
对于 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，我们还是将 $y$ 视为一个常数. 那么 $g(x)=f(x,y)=x^2+x(y-1)+y^2$，$\frac{\partial f}{\partial x}=g’(x)=2x+y-1$.
